Exempl De Valor Maximo Ou Valor Minimo Da FunçãO Quadratica

Exempl De Valor Maximo Ou Valor Minimo Da Função Quadratica, a função quadrática, representada graficamente por uma parábola, apresenta um ponto de inflexão conhecido como vértice. Este ponto corresponde ao valor máximo ou mínimo da função, dependendo da concavidade da parábola.

A compreensão do conceito de valor máximo ou mínimo é fundamental para diversas aplicações, desde a otimização de processos industriais até a análise de trajetórias de projéteis.

O vértice da parábola é determinado pelas coordenadas (x, y), onde x representa a abscissa do vértice e y representa a ordenada. Para encontrar as coordenadas do vértice, podemos utilizar a fórmula x = -b/2a, onde “a” e “b” são os coeficientes da função quadrática na forma geral ax² + bx + c.

O sinal do coeficiente “a” determina a concavidade da parábola e, consequentemente, se o vértice representa um valor máximo ou mínimo. Se “a” for positivo, a parábola é côncava para cima e o vértice representa um valor mínimo. Se “a” for negativo, a parábola é côncava para baixo e o vértice representa um valor máximo.

Introdução à Função Quadrática

A função quadrática é uma função polinomial de segundo grau, definida pela sua forma geral: f(x) = ax² + bx + c, onde “a”, “b” e “c” são coeficientes reais, com “a” diferente de zero. Os coeficientes “a”, “b” e “c” desempenham um papel fundamental na forma e características do gráfico da função, que é uma parábola.

Elementos da Função Quadrática

A função quadrática é caracterizada por três elementos principais:

• Coeficiente “a”:Determina a concavidade da parábola. Se “a” for positivo, a parábola abre para cima, e se “a” for negativo, a parábola abre para baixo.
• Coeficiente “b”:Influencia a posição do vértice da parábola no eixo x.
• Coeficiente “c”:Representa o ponto de intersecção da parábola com o eixo y, ou seja, o valor de f(0).

Vértice da Parábola

O vértice da parábola é o ponto de máximo ou mínimo da função quadrática. Ele representa o ponto onde a parábola muda de direção. A coordenada x do vértice é dada pela fórmula x = -b/2a. O valor da função no vértice, f(-b/2a), corresponde ao valor máximo ou mínimo da função, dependendo da concavidade da parábola.

Sinal do Coeficiente “a” e Concavidade

O sinal do coeficiente “a” determina a concavidade da parábola e, consequentemente, a existência de um valor máximo ou mínimo. Se “a” for positivo, a parábola abre para cima, e o vértice representa o ponto de mínimo da função. Se “a” for negativo, a parábola abre para baixo, e o vértice representa o ponto de máximo da função.

Encontrando o Valor Máximo ou Mínimo

Para encontrar o valor máximo ou mínimo da função quadrática, é necessário determinar as coordenadas do vértice da parábola. A fórmula x = -b/2a fornece a coordenada x do vértice. Substituindo esse valor na função original, obtemos o valor de f(x) no vértice, que corresponde ao valor máximo ou mínimo da função.

Determinando o Valor Máximo ou Mínimo

Após encontrar as coordenadas do vértice, o sinal do coeficiente “a” indica se o vértice representa o valor máximo ou mínimo da função. Se “a” for positivo, o vértice é o ponto de mínimo. Se “a” for negativo, o vértice é o ponto de máximo.

Exemplos Práticos

• Exemplo 1:Encontre o valor mínimo da função f(x) = x² – 4x + 3.

  Primeiro, calculamos a coordenada x do vértice: x = -b/2a = -(-4)/(2*1) = 2. Substituindo x = 2 na função, encontramos f(2) = 2² – 4*2 + 3 = -1. Portanto, o valor mínimo da função é -1, e o vértice está localizado no ponto (2, -1).

• Exemplo 2:Encontre o valor máximo da função f(x) = -2x² + 8x – 5.

  A coordenada x do vértice é x = -b/2a = -8/(2*(-2)) = 2. Substituindo x = 2 na função, obtemos f(2) = -2*2² + 8*2 – 5 = 3. Como “a” é negativo, o vértice é o ponto de máximo, e o valor máximo da função é 3, localizado no ponto (2, 3).

Aplicações do Valor Máximo ou Mínimo

O conceito de valor máximo ou mínimo da função quadrática possui diversas aplicações práticas em diferentes áreas, como:

Lucro Máximo de uma Empresa

Uma empresa pode utilizar a função quadrática para modelar seu lucro em relação à quantidade de produtos vendidos. O valor máximo da função representaria o lucro máximo que a empresa pode alcançar.

Exemplo de Problema

Uma empresa produz e vende x unidades de um determinado produto. O lucro (L) obtido pela venda dessas unidades é dado pela função L(x) = -x² + 10x – 16. Determine o número de unidades que a empresa deve vender para maximizar o lucro e qual é esse lucro máximo.

Para encontrar o lucro máximo, calculamos as coordenadas do vértice da parábola que representa a função L(x). A coordenada x do vértice é x = -b/2a = -10/(2*(-1)) = 5. Substituindo x = 5 na função, obtemos L(5) = -5² + 10*5 – 16 = 9.

Portanto, a empresa deve vender 5 unidades para maximizar o lucro, que será de 9 unidades monetárias.

Altura Máxima de um Objeto Lançado

A função quadrática pode ser utilizada para modelar a trajetória de um objeto lançado verticalmente. O valor máximo da função representaria a altura máxima atingida pelo objeto.

Análise Gráfica da Função Quadrática: Exempl De Valor Maximo Ou Valor Minimo Da Função Quadratica

O gráfico da função quadrática é uma parábola. A posição do vértice da parábola define o valor máximo ou mínimo da função. Se a parábola abre para cima, o vértice representa o ponto de mínimo. Se a parábola abre para baixo, o vértice representa o ponto de máximo.

Concavidade e Valor Máximo/Mínimo

A concavidade da parábola é determinada pelo sinal do coeficiente “a”. Se “a” for positivo, a parábola abre para cima, e o vértice representa o ponto de mínimo. Se “a” for negativo, a parábola abre para baixo, e o vértice representa o ponto de máximo.

Exemplos de Funções Quadráticas e seus Gráficos