Exemplo De FunçãO Do Segundo Grau

Exemplo De Função Do Segundo Grau, também conhecida como função quadrática, é um conceito fundamental na matemática, com aplicações em diversas áreas, como física, engenharia e economia. A função do segundo grau é definida por uma equação polinomial de grau 2, da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e a ≠ 0.

A representação gráfica dessa função é uma parábola, cuja forma e posição dependem dos valores dos coeficientes.

O coeficiente a determina a concavidade da parábola, sendo que se a > 0, a parábola é voltada para cima, e se a < 0, a parábola é voltada para baixo. O coeficiente b influencia a posição do vértice da parábola, que é o ponto de mínimo ou máximo da função. Já o coeficiente c representa o ponto de intersecção da parábola com o eixo y.

Introdução à Função do Segundo Grau: Exemplo De Função Do Segundo Grau

A função do segundo grau, também conhecida como função quadrática, é uma função polinomial de grau 2, definida por uma equação da forma:

f(x) = ax² + bx + c

onde a, b e c são números reais, com a ≠ 0. Esses números são chamados de coeficientes da função.

Coeficientes da Função do Segundo Grau

Os coeficientes a, b e c da função do segundo grau desempenham um papel fundamental na definição do comportamento do gráfico da função, que é uma parábola.

Coeficiente a

O coeficiente a determina a concavidade da parábola. Se a > 0, a parábola é côncava para cima, ou seja, abre-se para cima. Se a < 0, a parábola é côncava para baixo, ou seja, abre-se para baixo.

Coeficiente b

O coeficiente b influencia a posição da parábola em relação ao eixo y. Ele afeta a coordenada x do vértice da parábola, que é o ponto mais alto ou mais baixo da parábola.

Coeficiente c

O coeficiente c representa o ponto de intersecção da parábola com o eixo y. Ou seja, quando x = 0, f(x) = c.

Exemplos de Funções do Segundo Grau

Exemplo 1

f(x) = 2x² + 3x

1

Nessa função, a = 2, b = 3 e c =1. Como a > 0, a parábola é côncava para cima.

Exemplo 2

f(x) =

x² + 4x + 2

Nessa função, a =-1, b = 4 e c = 2. Como a < 0, a parábola é côncava para baixo.

Representação Gráfica da Função do Segundo Grau

O gráfico da função do segundo grau é uma curva chamada parábola, que possui características específicas que a distinguem de outras funções. A forma da parábola, sua posição no plano cartesiano e seus pontos de intersecção com os eixos coordenados podem ser determinados a partir dos coeficientes da função.

Determinação do Vértice da Parábola

O vértice da parábola é o ponto de mínimo ou máximo da função, dependendo da concavidade da parábola. Ele representa o ponto de inflexão da curva, onde a parábola muda de direção. O vértice pode ser determinado a partir dos coeficientes da função do segundo grau.

O vértice da parábola, representado pelo ponto (xv, yv), pode ser calculado pelas seguintes fórmulas:xv =

b / 2a

yv = f(xv) = a(xv)² + b(xv) + c

onde a, b e c são os coeficientes da função do segundo grau f(x) = ax² + bx + c.

Construção do Gráfico da Função do Segundo Grau

Para construir o gráfico de uma função do segundo grau, siga os seguintes passos:

1. Determinar o vértice da parábola

Utilize as fórmulas mencionadas anteriormente para calcular as coordenadas (xv, yv) do vértice.

2. Identificar a concavidade da parábola

Se o coeficiente a > 0, a parábola tem concavidade para cima (forma de U). Se a < 0, a parábola tem concavidade para baixo (forma de ∩). 3. Determinar as intersecções com o eixo y:Para encontrar a intersecção com o eixo y, faça x = 0 na função f(x) = ax² + bx + c. O valor obtido para y será a coordenada y do ponto de intersecção.

4. Determinar as intersecções com o eixo x

Para encontrar as intersecções com o eixo x, faça y = 0 na função f(x) = ax² + bx + c. Resolva a equação resultante para encontrar os valores de x que representam as coordenadas x dos pontos de intersecção.

5. Encontrar pontos adicionais

Calcule f(x) para alguns valores de x próximos ao vértice. Esses pontos adicionais ajudarão a traçar a forma da parábola com mais precisão.

6. Traçar o gráfico

Utilize os pontos encontrados nos passos anteriores para traçar o gráfico da parábola no plano cartesiano.

Propriedades da Função do Segundo Grau

A função do segundo grau, também conhecida como função quadrática, apresenta características únicas que a diferenciam de outras funções. Compreender essas propriedades é fundamental para analisar o comportamento da função e interpretar seu gráfico.

Concavidade da Parábola

A parábola, representação gráfica da função do segundo grau, pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo, dependendo do sinal do coeficiente a.

• Se a > 0, a parábola possui concavidade voltada para cima. Isso significa que o gráfico da função assume valores mínimos.
• Se a < 0, a parábola possui concavidade voltada para baixo. Neste caso, o gráfico da função assume valores máximos.

Eixo de Simetria da Parábola

O eixo de simetria da parábola é uma reta vertical que divide a parábola em duas partes simétricas. A equação do eixo de simetria é dada por:

x =

b / 2a

onde a e b são os coeficientes da função do segundo grau.

Casos Especiais da Função do Segundo Grau

A função do segundo grau pode se apresentar em diferentes formas, com características específicas.

• Função Constante:Se a = 0 e b = 0, a função se reduz a uma constante, representada por uma reta horizontal. O gráfico é uma linha reta paralela ao eixo x.
• Função Linear:Se a = 0 e b ≠ 0, a função se torna uma função linear, representada por uma reta inclinada. O gráfico é uma linha reta que intercepta o eixo y em um ponto diferente da origem.
• Função Quadrática:Se a ≠ 0, a função é uma função quadrática, representada por uma parábola. O gráfico é uma curva que pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo, dependendo do sinal do coeficiente a.

Compreender a função do segundo grau é essencial para o estudo de diversos fenômenos matemáticos e físicos. O conhecimento da forma geral da função, dos seus coeficientes e das suas propriedades, permite a análise de gráficos, a resolução de equações e a aplicação em problemas práticos.

O estudo da função do segundo grau proporciona uma base sólida para o desenvolvimento de conceitos mais avançados na matemática, como a álgebra linear e o cálculo.